1. Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество. 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей. 3. Решить иррациональное уравнение: √1 – х = х + 1.

Решение:

1. Определение логарифма: Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) (где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \) и \( b > 0 \)) называется показатель степени, в которую нужно возвести основание \( a \), чтобы получить число \( b \).
   \( \log_a b = c \) тогда и только тогда, когда \( a^c = b \).
   Основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \).
2. Перпендикулярность прямых и плоскостей:
   • Прямая перпендикулярна плоскости: если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
   • Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна данной плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
3. Решить иррациональное уравнение: \( \sqrt{1 - x} = x + 1 \).
   Возведём обе части уравнения в квадрат:
   \[ (\sqrt{1 - x})^2 = (x + 1)^2 \]
   \[ 1 - x = x^2 + 2x + 1 \]
   Перенесём все члены в правую часть:
   \[ x^2 + 2x + 1 - 1 + x = 0 \]
   \[ x^2 + 3x = 0 \]
   Вынесем \( x \) за скобки:
   \[ x(x + 3) = 0 \]
   Получаем два возможных корня: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -3 \).
   Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:
   Для \( x = 0 \): \( \sqrt{1 - 0} = 0 + 1 \) \( \Rightarrow \sqrt{1} = 1 \) \( \Rightarrow 1 = 1 \) (верно).
   Для \( x = -3 \): \( \sqrt{1 - (-3)} = -3 + 1 \) \( \Rightarrow \sqrt{4} = -2 \) \( \Rightarrow 2 = -2 \) (неверно).
   Следовательно, \( x = -3 \) – посторонний корень.

Ответ: x = 0.