1. Понятие производной. 2. Взаимное расположение сферы и плоскости. 3. Решите логарифмическое неравенство: log3(x + 1) < -2.

Решение:

1. Понятие производной: Производная функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \) – это скорость изменения функции в этой точке. Геометрически производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке. Обозначается \( f'(x) \) или \( \frac{dy}{dx} \).
2. Взаимное расположение сферы и плоскости:
   1. Плоскость пересекает сферу: Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы. Линия пересечения – окружность.
   2. Плоскость касается сферы: Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы. Точка касания – единственная общая точка.
   3. Плоскость не имеет общих точек со сферой: Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы.
3. Решите логарифмическое неравенство: \( \log_3 (x + 1) < -2 \).
   Чтобы логарифм был определён, необходимо условие \( x + 1 > 0 \), то есть \( x > -1 \).
   Поскольку основание логарифма \( 3 > 1 \), функция \( \log_3 t \) возрастает. Поэтому при снятии логарифма знак неравенства сохраняется:
   \[ x + 1 < 3^{-2} \]
   \[ x + 1 < \frac{1}{3^2} \]
   \[ x + 1 < \frac{1}{9} \]
   \[ x < \frac{1}{9} - 1 \]
   \[ x < \frac{1 - 9}{9} \]
   \[ x < -\frac{8}{9} \]
   Учитывая условие \( x > -1 \), получаем:
   \[ -1 < x < -\frac{8}{9} \]

Ответ: \( x \in \left(-1; -\frac{8}{9}\right) \).