1. Показательная функция, ее свойства и график. 2.Сфера и шар. 3. Решить тригонометрическое уравнение: cos 2x + cos2x + sin x cos x = 0.

Решение:

1. Показательная функция \( y = a^x \) (где \( a > 0 \) и \( a \neq 1 \)):
   • Область определения: \( \mathbb{R} \).
   • Область значений: \( (0; +\infty) \).
   • Свойства:
     • Если \( a > 1 \), функция возрастает.
     • Если \( 0 < a < 1 \), функция убывает.
     • График проходит через точку (0; 1).
     • Асимптота: \( y = 0 \) (ось Ox).
   • График – экспонента.
2. Сфера и шар:
   • Сфера – поверхность, состоящая из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от данной точки (центра).
   • Шар – тело, состоящее из всех точек пространства, расстояние от которых до центра не превышает радиус.
3. Решить тригонометрическое уравнение: \( \cos 2x + \cos^2 x + \sin x \cos x = 0 \).
   Используем формулы двойного угла: \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \) и \( \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \).
   \[ (2\cos^2 x - 1) + \cos^2 x + \frac{1}{2} \sin 2x = 0 \]
   \[ 3\cos^2 x - 1 + \frac{1}{2} \sin 2x = 0 \]
   Заметим, что \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \), значит \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \).
   \[ 3 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} - 1 + \frac{1}{2} \sin 2x = 0 \]
   Умножим на 2:
   \[ 3(1 + \cos 2x) - 2 + \sin 2x = 0 \]
   \[ 3 + 3\cos 2x - 2 + \sin 2x = 0 \]
   \[ 3\cos 2x + \sin 2x + 1 = 0 \]
   Перенесём 1:
   \[ 3\cos 2x + \sin 2x = -1 \]
   Это уравнение вида \( a \cos x + b \sin x = c \). Разделим на \( \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \):
   \[ \frac{3}{\sqrt{10}} \cos 2x + \frac{1}{\sqrt{10}} \sin 2x = -\frac{1}{\sqrt{10}} \]
   Пусть \( \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}} \) и \( \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} \) (такой \( \alpha \) существует, так как \( (\frac{3}{\sqrt{10}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{10}})^2 = \frac{9}{10} + \frac{1}{10} = 1 \)).
   Тогда:
   \[ \cos \alpha \cos 2x + \sin \alpha \sin 2x = -\frac{1}{\sqrt{10}} \]
   \[ \cos(2x - \alpha) = -\frac{1}{\sqrt{10}} \]
   \[ 2x - \alpha = \pm \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
   \[ 2x = \alpha \pm \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) + 2\pi k \]
   \[ x = \frac{\alpha}{2} \pm \frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
   где \( \alpha = \arctan(1/3) \).

Ответ: \( x = \frac{\arctan(1/3)}{2} \pm \frac{1}{2} \arccos\left\(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right\) + \(\pi\) k, \(\quad\) k \(\in\) \(\mathbb{Z}\).