1. Определение параллелограмма. Признаки параллелограмма. Площадь параллелограмма. 2. В 60 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 31 м, а другой 6 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками. 3. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. Рис. 2 6м 31 м 60 м рис. 3

1. Параллелограмм:

Определение: Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Признаки:

• Если у четырёхугольника противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
• Если у четырёхугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
• Если у четырёхугольника противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
• Если две стороны четырёхугольника параллельны и равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Площадь параллелограмма:

• S = a × h (где a — сторона, h — высота, опущенная на эту сторону).
• S = a × b × sin(α) (где a и b — стороны, α — угол между ними).

2. Нахождение расстояния между верхушками сосен:

Можно построить прямоугольный треугольник. Один катет будет равен разности высот сосен: 31 м - 6 м = 25 м. Другой катет будет равен расстоянию между соснами: 60 м. Расстояние между верхушками будет гипотенузой этого треугольника.

Пусть расстояние между верхушками — c.

По теореме Пифагора: c² = 60² + 25²

c² = 3600 + 625

c² = 4225

c = √4225 = 65 м.

3. Нахождение угла ABD:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Значит, сумма противоположных углов равна 180°.

∠ABC = 105°. Тогда ∠ADC = 180° - 105° = 75°.

∠CAD = 35°.

В треугольнике ADC: ∠ACD = ∠ADC - ∠CAD = 75° - 35° = 40°.

Так как ABCD вписан в окружность, то угол ABC = 105°. Тогда противоположный ему угол ADC = 180° - 105° = 75°.

Угол CAD = 35°. В треугольнике ADC, сумма углов равна 180°. Угол ACD = 180° - ∠ADC - ∠CAD = 180° - 75° - 35° = 70°.

Угол ABC = 105°. Угол ABD + угол DBC = 105°.

Угол ACB опирается на дугу AB. Угол ADB опирается на дугу AB. Значит, ∠ACB = ∠ADB.

Угол CAD = 35°. Этот угол опирается на дугу CD. Угол CBD опирается на дугу CD. Значит, ∠CBD = ∠CAD = 35°.

Теперь мы знаем, что ∠ABC = 105°, и ∠CBD = 35°.

∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 105° - 35° = 70°.

Ответ: 65, 70