1. Параллелограммы ABCD и ADFE лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AD. Прямая m, параллельная BC, пересекает плоскости ABE и DCF соответственно в точках H и P. Докажите, что HPFE — параллелограмм.

Так как ABCD — параллелограмм, то AB ∥ DC и BC ∥ AD. Так как ADFE — параллелограмм, то AD ∥ FE и AE ∥ DF. Следовательно, AB и AE соответственно параллельны пересекающимся прямым DC и DF, поэтому плоскости ABE и DCF параллельны.

Точки H и P лежат на прямой m, значит, HP ∥ m ∥ BC ∥ AD ∥ FE.

Рассмотрим плоскость, проходящую через параллельные прямые AB и DC. Она пересекает плоскость ABE по прямой AB, а плоскость DCF — по прямой DC. Поскольку плоскости ABE и DCF параллельны, отрезки, соединяющие соответствующие точки этих плоскостей, в частности HF и PE, параллельны: HF ∥ PE. Итак, у четырёхугольника HPFE обе пары противоположных сторон параллельны.

Ответ: HPFE — параллелограмм.