3. В тетраэдре DABC ∠DBA = ∠DBC = 90°, DB = 6, AB = BC = 8, AC = 12. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ребра DB и параллельной плоскости ADC. Найдите площадь сечения.

Пусть M — середина DB. Плоскость сечения параллельна ADC, поэтому она пересекает рёбра AB и BC в их серединах N и K. Действительно, в гранях DAB и DBC прямая сечения, проходящая через середину DB и параллельная соответственно DA и DC, проходит через середины противоположных рёбер.

Сечение — треугольник MNK, подобный ADC с коэффициентом подобия 1/2. Найдём площадь ADC.

1. Из условий DB ⟂ BA и DB ⟂ BC следует, что DB перпендикулярна плоскости ABC.
2. Опустим из B высоту к AC. Так как AB = BC, она делит AC пополам: половина основания равна 6. Высота равна \(\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt7\).
3. Расстояние от B до AC равно \(2\sqrt7\), а DB перпендикулярна плоскости ABC. Поэтому расстояние от D до AC равно \(\sqrt{DB^2+(2\sqrt7)^2}=\sqrt{36+28}=8\).
4. Площадь треугольника ADC: \(S_{ADC}=\frac12\cdot12\cdot8=48\).
5. Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия: \(S_{MNK}=48\cdot(1/2)^2=12\).

Ответ: площадь сечения равна 12.