1. Построить график функции y=-x⁴+8x²-16.

Решение:

Для построения графика функции \( y = -x^4 + 8x^2 - 16 \) найдём:

1. Область определения: Все действительные числа \( x \in \mathbb{R} \).
2. Чётность/нечётность: \( y(-x) = -(-x)^4 + 8(-x)^2 - 16 = -x^4 + 8x^2 - 16 = y(x) \). Функция чётная, график симметричен относительно оси Oy.
3. Пересечение с осями:
• С осью Oy: При \( x = 0 \), \( y = -16 \). Точка (0, -16).
• С осью Ox: При \( y = 0 \), \( -x^4 + 8x^2 - 16 = 0 \). Пусть \( t = x^2 \), тогда \( -t^2 + 8t - 16 = 0 \), или \( t^2 - 8t + 16 = 0 \), \( (t - 4)^2 = 0 \), \( t = 4 \). Значит, \( x^2 = 4 \), \( x = \pm 2 \). Точки (-2, 0) и (2, 0).
4. Производная и экстремумы:
• \( y' = -4x^3 + 16x = -4x(x^2 - 4) = -4x(x - 2)(x + 2) \).
• Критические точки: \( x = -2, x = 0, x = 2 \).
• Знаки производной:
• При \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( y' = -4(-3)((-3)^2 - 4) = 12(9 - 4) = 60 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -2 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( y' = -4(-1)((-1)^2 - 4) = 4(1 - 4) = -12 < 0 \). Функция убывает.
• При \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \( y' = -4(1)(1^2 - 4) = -4(1 - 4) = 12 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( y' = -4(3)(3^2 - 4) = -12(9 - 4) = -60 < 0 \). Функция убывает.
• Экстремумы:
• \( x = -2 \) — максимум, \( y = -(-2)^4 + 8(-2)^2 - 16 = -16 + 32 - 16 = 0 \). Точка (-2, 0).
• \( x = 0 \) — минимум, \( y = -(0)^4 + 8(0)^2 - 16 = -16 \). Точка (0, -16).
• \( x = 2 \) — максимум, \( y = -(2)^4 + 8(2)^2 - 16 = -16 + 32 - 16 = 0 \). Точка (2, 0).
5. Поведение на бесконечности: При \( |x| \to \infty \), \( y \to -\infty \).

График:

Ответ: График функции — симметричная относительно оси Oy кривая, проходящая через точки (-2, 0), (0, -16), (2, 0). Функция имеет максимумы в точках (-2, 0) и (2, 0), минимум в точке (0, -16).