4. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 100 см, боковые ребра равны 130 см. Найти площадь боковой поверхности.

Решение:

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Сторона основания \( a = 100 \) см.

Боковое ребро \( l = 130 \) см.

Найти: Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \).

1. Найдём апофему (высоту боковой грани) \( h_a \):
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и радиусом описанной окружности основания. Однако, для площади боковой поверхности нам нужна апофема. Апофема является высотой боковой грани. Рассмотрим боковую грань – равнобедренный треугольник. Его основание равно стороне основания пирамиды \( a \), а боковые стороны – боковым ребрам \( l \). Опустим апофему \( h_a \) из вершины пирамиды на основание боковой грани (сторону \( a \)). Эта апофема делит сторону основания пополам.

2. В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром \( l \), апофемой \( h_a \) и половиной стороны основания \( \frac{a}{2} \):

   \[ l^2 = h_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]\[ 130^2 = h_a^2 + \left(\frac{100}{2}\right)^2 \]\[ 16900 = h_a^2 + 50^2 \]\[ 16900 = h_a^2 + 2500 \]\[ h_a^2 = 16900 - 2500 \]\[ h_a^2 = 14400 \]\[ h_a = \(\sqrt{14400}\) = 120 \) см.
3. Найдём площадь боковой поверхности:
   Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.
• Периметр основания \( P = 4a = 4 \times 100 = 400 \) см.
• Полупериметр основания \( p = \frac{P}{2} = \frac{400}{2} = 200 \) см.
• \( S_{бок} = p \times h_a \)
• \( S_{бок} = 200 \times 120 \)
• \( S_{бок} = 24000 \) см².

Ответ: Площадь боковой поверхности равна 24000 см².