2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x²+3x и осью Ох.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = x^2 + 3x \) и осью Ox, нужно найти точки пересечения параболы с осью Ox, то есть приравнять \( y \) к нулю:

\[ x^2 + 3x = 0 \]\[ x(x + 3) = 0 \]

Корни уравнения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -3 \).

Площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла:

\[ S = \int_{-3}^{0} (x^2 + 3x) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ \int (x^2 + 3x) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \]\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{-3}^{0} \]\[ S = \left( \frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right) - \left( \frac{(-3)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-3)^2}{2} \right) \]\[ S = 0 - \left( \frac{-27}{3} + \frac{3 \cdot 9}{2} \right) \]\[ S = - \left( -9 + \frac{27}{2} \right) \]\[ S = - \left( -9 + 13.5 \right) \]\[ S = - (4.5) \]\[ S = -4.5 \]

Так как площадь не может быть отрицательной, мы берём модуль результата.

Ответ: Площадь фигуры равна 4,5.