1. Построить график $$y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$$

Решение:

Для построения графика функции $$y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции:
   $$y' = x^2 - 4x + 3$$
2. Найти критические точки (где $$y' = 0$$):
   $$x^2 - 4x + 3 = 0$$
   $$(x-1)(x-3) = 0$$
   $$x_1 = 1, x_2 = 3$$
3. Определить интервалы возрастания и убывания:
   • При $$x < 1$$, $$y' > 0$$ (функция возрастает).
   • При $$1 < x < 3$$, $$y' < 0$$ (функция убывает).
   • При $$x > 3$$, $$y' > 0$$ (функция возрастает).
4. Найти точки экстремума:
   • $$x=1$$ — точка локального максимума. $$y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) + 1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 + 1 = 2\frac{1}{3}$$. Точка максимума: $$(1; 2\frac{1}{3})$$.
   • $$x=3$$ — точка локального минимума. $$y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3) + 1 = 9 - 18 + 9 + 1 = 1$$. Точка минимума: $$(3; 1)$$.
5. Найти точки пересечения с осями:
   • С осью Oy (при $$x=0$$): $$y = 1$$. Точка $$(0; 1)$$.
   • С осью Ox (при $$y=0$$): $$\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1 = 0$$. Это кубическое уравнение, корни которого не вычисляются просто.
6. Построить график, используя найденные точки и информацию об интервалах возрастания/убывания.

График функции: