4. g) $$y = 12 \ln x - 24x$$ e) $$y = \frac{e^x}{2x}$$

Решение для g) $$y = 12 \ln x - 24x$$:

1. Область определения: $$x > 0$$, так как аргумент логарифма должен быть положительным.
2. Находим производную:
   $$y' = \frac{12}{x} - 24$$
3. Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:
   $$\frac{12}{x} - 24 = 0$$
   $$\frac{12}{x} = 24$$
   $$x = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$
4. Определяем интервалы монотонности:
   • При $$0 < x < \frac{1}{2}$$: Возьмем $$x = \frac{1}{4}$$. $$y' = \frac{12}{1/4} - 24 = 48 - 24 = 24 > 0$$. Функция возрастает.
   • При $$x > \frac{1}{2}$$: Возьмем $$x = 1$$. $$y' = \frac{12}{1} - 24 = 12 - 24 = -12 < 0$$. Функция убывает.
5. Находим точки экстремума:
   $$x = \frac{1}{2}$$ — точка локального максимума.
6. Вычисляем значение функции в точке максимума:
   $$y(\frac{1}{2}) = 12 \ln(\frac{1}{2}) - 24(\frac{1}{2}) = 12 \ln(2^{-1}) - 12 = -12 \ln 2 - 12 \approx -12(0.693) - 12 \approx -8.316 - 12 = -20.316$$

Решение для e) $$y = \frac{e^x}{2x}$$:

1. Область определения: $$x
   eq 0$$.
2. Находим производную, используя правило дифференцирования частного:
   $$y' = \frac{(e^x)'(2x) - (e^x)(2x)'}{(2x)^2} = \frac{e^x(2x) - e^x(2)}{4x^2} = \frac{2e^x(x-1)}{4x^2} = \frac{e^x(x-1)}{2x^2}$$
3. Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:
   $$\frac{e^x(x-1)}{2x^2} = 0$$
   Так как $$e^x > 0$$ и $$2x^2 > 0$$ для $$x
   eq 0$$, то $$x-1 = 0$$, следовательно $$x=1$$.
4. Определяем интервалы монотонности:
   • При $$x < 0$$ (например, $$x=-1$$): $$y' = \frac{e^{-1}(-1-1)}{2(-1)^2} = \frac{e^{-1}(-2)}{2} = -e^{-1} < 0$$. Функция убывает.
   • При $$0 < x < 1$$ (например, $$x=0.5$$): $$y' = \frac{e^{0.5}(0.5-1)}{2(0.5)^2} = \frac{e^{0.5}(-0.5)}{0.5} = -e^{0.5} < 0$$. Функция убывает.
   • При $$x > 1$$ (например, $$x=2$$): $$y' = \frac{e^{2}(2-1)}{2(2)^2} = \frac{e^{2}}{8} > 0$$. Функция возрастает.
5. Находим точки экстремума:
   $$x=1$$ — точка локального минимума.
6. Вычисляем значение функции в точке минимума:
   $$y(1) = \frac{e^1}{2(1)} = \frac{e}{2} \approx \frac{2.718}{2} \approx 1.359$$

Ответ:

• Для g) $$y = 12 \ln x - 24x$$: Наибольшее значение достигается в точке $$x = \frac{1}{2}$$, $$y_{max} = -12 \ln 2 - 12$$.
• Для e) $$y = \frac{e^x}{2x}$$: Наименьшее значение достигается в точке $$x=1$$, $$y_{min} = \frac{e}{2}$$.