2. Найти наименьшее и наибольшее значение функции. 1) $$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9$$ на $$[-2; 2]$$

Решение:

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции $$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9$$ на отрезке $$[-2; 2]$$ необходимо:

1. Найти производную функции:
   $$f'(x) = 3x^2 - 12x$$
2. Найти критические точки (где $$f'(x) = 0$$):
   $$3x^2 - 12x = 0$$
   $$3x(x - 4) = 0$$
   $$x_1 = 0, x_2 = 4$$
3. Выбрать критические точки, принадлежащие отрезку $$[-2; 2]$$:
   Из найденных точек только $$x=0$$ принадлежит отрезку $$[-2; 2]$$. Точка $$x=4$$ находится вне данного отрезка.
4. Вычислить значения функции в критической точке (принадлежащей отрезку) и на концах отрезка:
   • $$f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 9 = -8 - 6(4) + 9 = -8 - 24 + 9 = -23$$
   • $$f(0) = (0)^3 - 6(0)^2 + 9 = 0 - 0 + 9 = 9$$
   • $$f(2) = (2)^3 - 6(2)^2 + 9 = 8 - 6(4) + 9 = 8 - 24 + 9 = -7$$
5. Сравнить полученные значения:
   Наименьшее значение равно $$-23$$.
   Наибольшее значение равно $$9$$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $$[-2; 2]$$ равно $$-23$$, наибольшее значение равно $$9$$.