1. Постройте график функции \(y=\begin{cases}x^2+2x+1,&x\ge -2,\\x+6,&x<-2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Первая часть графика — ветвь параболы \(y=(x+1)^2\) при \(x\ge-2\), с вершиной \((-1,0)\) и включённой точкой \((-2,1)\). Вторая часть — луч прямой \(y=x+6\) при \(x<-2\), подходящий к точке \((-2,4)\), которая не включена.

Для горизонтали \(y=m\): прямая часть даёт одну точку при \(m<4\). Параболическая часть имеет минимум \(0\): при \(m=0\) даёт одну точку, при \(0<m<1\) — две, при \(m\ge1\) — одну (для \(m=1\) корень \(x=-2\) включён).

Суммарно ровно две точки получаются при \(m=0\) (одна с каждой части) и при \(m\ge4\) (только одна точка параболы? При \(m=4\) прямая часть исключает равенство, а парабола даёт одну; при \(m>4\) также одну). Следовательно, значение \(m\ge4\) не подходит. При \(0<m<1\) парабола даёт две точки, прямая — ещё одну; при \(1\le m<4\) — по одной с каждой части.

Ответ: \(m=0\) или \(1\le m<4\).