1. Постройте график функции \(y=\frac{3}{x}\). а) Найдите область определения функции; б) какие значения принимает функция? в) является ли функция чётной или нечётной? г) укажите промежутки возрастания (убывания) функции; промежутки, в которых функция принимает положительные (отрицательные) значения.

Для построения удобно взять несколько значений аргумента и вычислить соответствующие значения функции: при \(x=-3,-1,1,3\) получаем точки \((-3,-1),(-1,-3),(1,3),(3,1)\). График — гипербола с асимптотами \(x=0\) и \(y=0\).

1. Знаменатель не должен быть равен нулю: \(x\ne0\). Область определения: \(D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\\infty)\).

2. Числитель равен 3, поэтому значение функции никогда не равно нулю; при любом \(y\ne0\) можно взять \(x=3/y\). Область значений: \(E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).

3. Для любого допустимого \(x\): \(f(-x)=\frac{3}{-x}=-f(x)\). Функция нечётная.

4. Производная \(f'(x)=-\frac{3}{x^2}<0\) при всех \(x\ne0\), поэтому функция убывает на каждом промежутке области определения: \(( -\infty;0)\) и \((0;+\infty)\). Возрастающих промежутков нет.

   Знак \(3/x\) совпадает со знаком \(x\): функция положительна при \(x\in(0;+\infty)\) и отрицательна при \(x\in(-\infty;0)\).

Ответ: \(D=E=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\); функция нечётная, убывает на \(( -\infty;0)\) и \((0;+\infty)\), положительна при \(x>0\), отрицательна при \(x<0\).