Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Краткая запись:
- Функция: \( y = x^2 - 8x + 13 \)
Краткое пояснение: Для построения графика квадратичной функции (параболы) необходимо найти ее вершину, ось симметрии и точки пересечения с осями координат. Далее, используя найденные точки и свойства параболы, можно определить значения функции и промежутки ее возрастания/убывания.
Пошаговое решение:
- 1. Находим вершину параболы: Координата x вершины находится по формуле \( x_в = -\frac{b}{2a} \). В данном случае \( a=1 \), \( b=-8 \), \( c=13 \). \( x_в = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 \). Координата y вершины находится подстановкой \( x_в \) в уравнение функции: \( y_в = (4)^2 - 8(4) + 13 = 16 - 32 + 13 = -3 \). Вершина параболы находится в точке (4; -3).
- 2. Ось симметрии: Ось симметрии проходит через вершину и является вертикальной прямой \( x = 4 \).
- 3. Точки пересечения с осями: С осью Y (при \( x=0 \)): \( y = (0)^2 - 8(0) + 13 = 13 \). Точка пересечения с осью Y: (0; 13). С осью X (нули функции, при \( y=0 \)): \( x^2 - 8x + 13 = 0 \). Используем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(13) = 64 - 52 = 12 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \). \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 2\sqrt{3}}{2} = 4 - \sqrt{3} \approx 4 - 1.732 = 2.268 \). \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 2\sqrt{3}}{2} = 4 + \sqrt{3} \approx 4 + 1.732 = 5.732 \). Нули функции: \( x \approx 2.268 \) и \( x \approx 5.732 \).
- 4. Построение графика: Отмечаем вершину (4; -3), точки пересечения с осями (0; 13) и нули функции (≈2.268; 0), (≈5.732; 0). Учитывая, что ветви параболы направлены вверх (т.к. \( a > 0 \)), рисуем плавную кривую.
Ответы на вопросы:
- а) значение y при x = 1,5: \( y = (1.5)^2 - 8(1.5) + 13 = 2.25 - 12 + 13 = 3.25 \).
- б) значения x, при которых y = 2: \( x^2 - 8x + 13 = 2 \) \( x^2 - 8x + 11 = 0 \) \( D = (-8)^2 - 4(1)(11) = 64 - 44 = 20 \) \( \sqrt{D} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \). \( x_1 = \frac{8 - 2\sqrt{5}}{2} = 4 - \sqrt{5} \approx 4 - 2.236 = 1.764 \). \( x_2 = \frac{8 + 2\sqrt{5}}{2} = 4 + \sqrt{5} \approx 4 + 2.236 = 6.236 \).
- в) нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0: Нули функции: \( x ≈ 2.268 \) и \( x ≈ 5.732 \). \( y > 0 \) при \( x ∈ (-∞; 4 - √3) ∪ (4 + √3; +∞) \). \( y < 0 \) при \( x ∈ (4 - √3; 4 + √3) \).
- г) промежуток, в котором функция убывает: Функция убывает при \( x < x_в \), то есть при \( x ∈ (-∞; 4) \).
Ответ: а) y = 3.25; б) x ≈ 1.764 и x ≈ 6.236; в) нули функции x ≈ 2.268 и x ≈ 5.732; y > 0 при x ∈ (-∞; 2.268) ∪ (5.732; +∞), y < 0 при x ∈ (2.268; 5.732); г) (-∞; 4).
