4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола y = 1/5 x² и прямая y = 20 - 3x. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Пошаговое решение:

• 1. Приравниваем уравнения: \( \frac{1}{5}x^2 = 20 - 3x \)
• 2. Приводим к квадратному уравнению: Умножим обе части на 5: \( x^2 = 100 - 15x \) Перенесем все члены в одну сторону: \( x^2 + 15x - 100 = 0 \)
• 3. Находим дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (15)^2 - 4(1)(-100) = 225 + 400 = 625 \)
• 4. Проверяем наличие действительных корней: Так как \( D = 625 > 0 \), уравнение имеет два действительных корня, следовательно, парабола и прямая пересекаются.
• 5. Находим значения x: \( \sqrt{D} = \sqrt{625} = 25 \). \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 - 25}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20 \). \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 + 25}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 \).
• 6. Находим соответствующие значения y: Для \( x_1 = -20 \): \( y = 20 - 3(-20) = 20 + 60 = 80 \). (Проверка по параболе: \( y = \frac{1}{5}(-20)^2 = \frac{1}{5}(400) = 80 \)). Для \( x_2 = 5 \): \( y = 20 - 3(5) = 20 - 15 = 5 \). (Проверка по параболе: \( y = \frac{1}{5}(5)^2 = \frac{1}{5}(25) = 5 \)).

Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: (-20; 80) и (5; 5).