3. Найдите область значений функции y = x² - 4x – 7, где x∈ [-1; 5].

Question

Вопрос:

3. Найдите область значений функции y = x² - 4x – 7, где x∈ [-1; 5].

Accepted Answer

Краткое пояснение: Область значений функции на заданном отрезке определяется минимальным и максимальным значениями функции на этом отрезке. Для квадратичной функции это достигается либо в вершине параболы (если она попадает в отрезок), либо на концах отрезка.

Пошаговое решение:

1. Определение коэффициентов и вершины параболы: Функция: \( y = x^2 - 4x - 7 \). Коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = -7 \). Координата x вершины: \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \).
2. Проверка попадания вершины в отрезок: Отрезок задан условием \( x ∈ [-1; 5] \). Координата \( x_в = 2 \) попадает в этот отрезок.
3. Вычисление значений функции на концах отрезка и в вершине: При \( x = -1 \): \( y(-1) = (-1)^2 - 4(-1) - 7 = 1 + 4 - 7 = -2 \). При \( x = 5 \): \( y(5) = (5)^2 - 4(5) - 7 = 25 - 20 - 7 = -2 \). При \( x = 2 \) (вершина): \( y(2) = (2)^2 - 4(2) - 7 = 4 - 8 - 7 = -11 \).
4. Определение области значений: Так как парабола имеет ветви, направленные вверх (\( a = 1 > 0 \)), наименьшее значение функции на отрезке будет в вершине \( y_{min} = -11 \). Наибольшее значение будет на концах отрезка, так как значения \( y(-1) \) и \( y(5) \) равны. \( y_{max} = -2 \).

Ответ: [-11; -2]