1. Постройте сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки P, M и K, где P ∈ AD, M ∈ DB, K ∈ BC; AP = PD, DM = MB. 2. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD — квадрат со стороной 8 см, боковое ребро равно 3 см. E — середина A₁B₁. Постройте сечение плоскостью, проходящей через A и E, и найдите периметр сечения.

1. Точки P и M — середины рёбер AD и DB. На грани ADB соединяем P и M: PM ∥ AB. Плоскость также проходит через K на ребре BC. Поэтому на грани ABC сечение соединяет K с точкой пересечения прямой PK с AC; на грани ADC оно соединяет P с точкой пересечения прямой PK с DC. Однако положение K на BC не задано, поэтому единственное сечение определить нельзя. Уточните, где именно расположена точка K.

2. Вводим координаты: A(0, 0, 0), B(8, 0, 0), D(0, 8, 0), A₁(0, 0, 3), B₁(8, 0, 3). Тогда E(4, 0, 3). Плоскость через A и E пересекает ребро BB₁ в точке F(8, 0, 6), то есть за пределами параллелепипеда; для сечения используем реальные грани: плоскость через A и E параллельна направлению AB и пересекает грань DD₁C₁C по отрезку через точку, соответствующую E. Получаем прямоугольное сечение со сторонами 4 см и √73 см: одна сторона равна половине ребра основания, другая — расстоянию между A и E.

Периметр: \(P=2(4+\sqrt{73})=8+2\sqrt{73}\) см.

Ответ: 1) требуется уточнить положение K на BC; 2) \(8+2\sqrt{73}\) см.