1. При каких значениях а квадратный трёхчлен 3(а - 1)x² + 3(a + 2)x - 1 имеет два корня?

Решение:

Квадратный трёхчлен имеет два корня, если его дискриминант больше нуля.

Уравнение: \( 3(a - 1)x^2 + 3(a + 2)x - 1 = 0 \)

Коэффициенты: \( A = 3(a - 1) \), \( B = 3(a + 2) \), \( C = -1 \).

Дискриминант: \( D = B^2 - 4AC \)

\[ D = \left( 3(a + 2) \right)^2 - 4 \cdot 3(a - 1) \cdot (-1) \]\[ D = 9(a^2 + 4a + 4) + 12(a - 1) \]\[ D = 9a^2 + 36a + 36 + 12a - 12 \]\[ D = 9a^2 + 48a + 24 \]

Чтобы было два корня, нужно, чтобы \( D > 0 \).

\[ 9a^2 + 48a + 24 > 0 \]

Разделим на 3:

\[ 3a^2 + 16a + 8 > 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( 3a^2 + 16a + 8 = 0 \) через дискриминант:

\[ D_a = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 256 - 96 = 160 \]\[ \sqrt{D_a} = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10} \]

Корни для \( a \):

\[ a_1 = \frac{-16 + 4\sqrt{10}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 + 4\sqrt{10}}{6} = \frac{-8 + 2\sqrt{10}}{3} \]\[ a_2 = \frac{-16 - 4\sqrt{10}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 - 4\sqrt{10}}{6} = \frac{-8 - 2\sqrt{10}}{3} \]

Так как парабола \( y = 3a^2 + 16a + 8 \) ветвями вверх, неравенство \( 3a^2 + 16a + 8 > 0 \) выполняется, когда \( a < a_2 \) или \( a > a_1 \).

Также, для того чтобы трёхчлен был квадратным, коэффициент при \( x^2 \) не должен быть равен нулю: \( 3(a - 1) \neq 0 \), то есть \( a \neq 1 \).

Проверим, входит ли \( a = 1 \) в интервалы:

\[ a_1 = \frac{-8 + 2\sqrt{10}}{3} \approx \frac{-8 + 2 \cdot 3.16}{3} = \frac{-8 + 6.32}{3} = \frac{-1.68}{3} = -0.56 \]\[ a_2 = \frac{-8 - 2\sqrt{10}}{3} \approx \frac{-8 - 6.32}{3} = \frac{-14.32}{3} = -4.77 \]

\( a = 1 \) не входит ни в один из интервалов, поэтому его можно не исключать отдельно.

Ответ: \( a \in \left( - \infty; \frac{-8 - 2\sqrt{10}}{3} \right) \cup \left( \frac{-8 + 2\sqrt{10}}{3}; + \infty \right) \)