5. Найти наименьшее положительное значение параметра к, при котором система (y = |x-3| уравнений (y = kx + 4 имеет единственное решение.

Решение:

Система уравнений:

\[ \begin{cases} y = |x - 3| \\ y = kx + 4 \end{cases} \]

График первого уравнения \( y = |x - 3| \) — это график функции \( y = x - 3 \), "отражённый" в точке \( x = 3 \).

График второго уравнения \( y = kx + 4 \) — это прямая, проходящая через точку \( (0, 4) \) с угловым коэффициентом \( k \).

Нам нужно найти такое \( k \), при котором прямая \( y = kx + 4 \) будет иметь ровно одно пересечение с графиком \( y = |x - 3| \).

Рассмотрим поведение прямой \( y = kx + 4 \) относительно графика \( y = |x - 3| \).

График \( y = |x - 3| \) состоит из двух лучей:

• При \( x \ge 3 \): \( y = x - 3 \)
• При \( x < 3 \): \( y = -(x - 3) = -x + 3 \)

Прямая \( y = kx + 4 \) проходит через точку \( (0, 4) \).

Случай 1: Прямая проходит через вершину графика \( y = |x - 3| \), которая находится в точке \( (3, 0) \).

Подставим координаты \( (3, 0) \) в уравнение прямой:

\[ 0 = k \cdot 3 + 4 \]\[ 3k = -4 \]\[ k = -\frac{4}{3} \]

В этом случае прямая пересекает график в одной точке. Это одно решение.

Случай 2: Прямая является касательной к одному из лучей графика \( y = |x - 3| \).

Рассмотрим луч \( y = x - 3 \) (при \( x \ge 3 \)). Угловой коэффициент этого луча равен 1.

Если \( k = 1 \), прямая \( y = x + 4 \) параллельна лучу \( y = x - 3 \) и находится выше него (так как \( 4 > -3 \)). Они не пересекаются.

Рассмотрим луч \( y = -x + 3 \) (при \( x < 3 \)). Угловой коэффициент этого луча равен -1.

Если \( k = -1 \), прямая \( y = -x + 4 \) пересекает луч \( y = -x + 3 \) в одной точке. Найдём эту точку:

\[ -x + 4 = -x + 3 \]\[ 4 = 3 \]

Это невозможно, значит, прямая \( y = -x + 4 \) не пересекает луч \( y = -x + 3 \) (они параллельны).

Теперь найдём касательную к лучу \( y = x - 3 \) (при \( x \ge 3 \)). Уравнение касательной будет \( y = kx + 4 \).

Для того чтобы прямая пересекала график ровно один раз, нужно, чтобы она либо проходила через вершину \( (3, 0) \) (что мы уже рассмотрели, \( k = -4/3 \)), либо была касательной к одному из лучей.

Прямая \( y = kx + 4 \) с \( k > 0 \) будет пересекать график \( y = |x - 3| \) в двух точках (одну с лучом \( y = x - 3 \) и одну с лучом \( y = -x + 3 \)), если \( k \) не слишком велико.

Для единственного решения, прямая должна либо проходить через вершину \( (3, 0) \), либо быть касательной к одному из лучей.

Мы нашли, что если прямая проходит через \( (3, 0) \), то \( k = -4/3 \). Это даёт одно решение.

Рассмотрим касание. Прямая \( y = kx + 4 \) должна быть касательной к \( y = x - 3 \) или \( y = -x + 3 \).

Если \( k = 1 \), прямая \( y = x + 4 \) параллельна \( y = x - 3 \) и не пересекает её.

Если \( k = -1 \), прямая \( y = -x + 4 \) параллельна \( y = -x + 3 \) и не пересекает её.

Для того чтобы получить единственное решение, прямая должна касаться одного из лучей. Однако, так как прямая \( y = kx + 4 \) проходит через точку \( (0, 4) \), которая находится левее и выше графика \( y = |x - 3| \), при \( k > 0 \) будет два пересечения. При \( k = 0 \), \( y = 4 \), это пересечёт \( y = |x - 3| \) в двух точках: \( |x - 3| = 4 \implies x - 3 = 4 \text{ или } x - 3 = -4 \implies x = 7 \text{ или } x = -1 \).

Единственное решение возникает, когда прямая проходит через вершину \( (3, 0) \). В этом случае \( k = -4/3 \).

Также, единственное решение может возникнуть, когда прямая является касательной к одному из лучей, и при этом она пересекает другой луч только в одной точке (или не пересекает).

Рассмотрим касательную к \( y = -x + 3 \) (где \( x < 3 \)). Если \( k = -1 \), то \( y = -x + 4 \), что параллельно \( y = -x + 3 \).

Рассмотрим касательную к \( y = x - 3 \) (где \( x \ge 3 \)). Если \( k = 1 \), то \( y = x + 4 \), что параллельно \( y = x - 3 \).

Единственное пересечение происходит, когда прямая проходит через вершину \( (3, 0) \), при \( k = -4/3 \).

Другой случай единственного решения - когда прямая касается одного луча и пересекает другой луч в одной точке, но эта точка может быть вершиной.

Если \( k \) немного больше, чем \( -4/3 \), то будет два пересечения.

Если \( k \) немного меньше, чем \( -4/3 \), то будет ноль пересечений.

Рассмотрим положительные \( k \). Прямая \( y = kx + 4 \) с \( k > 0 \) всегда будет иметь два пересечения с \( y = |x - 3| \), если \( k \) не равно 1 (где она параллельна одному из лучей).

Единственное решение возникает, когда прямая проходит через вершину \( (3, 0) \). Это даёт \( k = -4/3 \).

Единственное решение также может возникнуть, если прямая является касательной к одному из лучей, и при этом её коэффициент \( k \) такой, что она имеет ровно одно пересечение.

Рассмотрим случай, когда прямая \( y = kx + 4 \) касается луча \( y = x - 3 \) для \( x \ge 3 \). Условие касания — совпадение производных и значений функций.

\( y' = 1 \). Значит, \( k = 1 \). В этом случае \( y = x + 4 \). Сравнивая с \( y = x - 3 \), они параллельны.

Рассмотрим случай, когда прямая \( y = kx + 4 \) касается луча \( y = -x + 3 \) для \( x < 3 \).

\( y' = -1 \). Значит, \( k = -1 \). В этом случае \( y = -x + 4 \). Сравнивая с \( y = -x + 3 \), они параллельны.

Следовательно, единственное решение возможно только при прохождении через вершину \( (3, 0) \).

Нам нужно наименьшее положительное значение \( k \).

У нас есть два луча: \( y = x - 3 \) (при \( x \ge 3 \)) и \( y = -x + 3 \) (при \( x < 3 \)).

Прямая \( y = kx + 4 \) проходит через \( (0, 4) \).

Если \( k = 1 \), \( y = x + 4 \). Пересечение с \( y = x - 3 \) отсутствует (параллельны).

Если \( k = -1 \), \( y = -x + 4 \). Пересечение с \( y = -x + 3 \) отсутствует (параллельны).

Если \( k = -4/3 \), прямая проходит через \( (3, 0) \) и \( (0, 4) \). Это даёт одно пересечение.

Положительные значения \( k \).

Пусть \( k > 0 \). Прямая \( y = kx + 4 \) пересечёт \( y = -x + 3 \) в одной точке (так как \( k \) не равно -1).

\[ kx + 4 = -x + 3 \]\[ (k + 1)x = -1 \]\[ x = -\frac{1}{k + 1} \]

Условие \( x < 3 \) выполняется, так как \( k > 0 \) \(\implies\) \( k + 1 > 1 \) \(\implies\) \( 0 < \frac{1}{k + 1} < 1 \) \(\implies\) \( -1 < -\frac{1}{k + 1} < 0 \), что меньше 3.

Также прямая \( y = kx + 4 \) пересечёт \( y = x - 3 \) в одной точке.

\[ kx + 4 = x - 3 \]\[ (k - 1)x = -7 \]

Если \( k = 1 \), то \( 0 = -7 \), нет решений (параллельны).

Если \( k \neq 1 \), то \( x = -\frac{7}{k - 1} \).

Нам нужно, чтобы это решение было \( \ge 3 \).

\[ -\frac{7}{k - 1} \ge 3 \]

Рассмотрим два случая для \( k \):

1. \( k - 1 > 0 \) (то есть \( k > 1 \)):

\[ -7 \ge 3(k - 1) \]\[ -7 \ge 3k - 3 \]\[ -4 \ge 3k \]\[ k \le -4/3 \]

Это противоречит \( k > 1 \), поэтому решений нет.

2. \( k - 1 < 0 \) (то есть \( 0 < k < 1 \)):

\[ -7 \le 3(k - 1) \]\[ -7 \le 3k - 3 \]\[ -4 \le 3k \]\[ k \ge -4/3 \]

Это условие \( k \ge -4/3 \) выполняется для \( 0 < k < 1 \).

Значит, при \( 0 < k < 1 \) у нас есть два пересечения: одно с \( y = -x + 3 \) и одно с \( y = x - 3 \).

Единственное решение будет, когда прямая проходит через вершину \( (3, 0) \), это \( k = -4/3 \).

Единственное решение также может возникнуть, когда прямая параллельна одному из лучей и пересекает другой луч. Для \( k = 1 \) и \( k = -1 \) мы имеем параллельные лучи.

Если \( k = 1 \), \( y = x + 4 \). Это параллельно \( y = x - 3 \). Оно пересекает \( y = -x + 3 \) при \( x + 4 = -x + 3 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5 \). Это одно решение.

Если \( k = -1 \), \( y = -x + 4 \). Это параллельно \( y = -x + 3 \). Оно пересекает \( y = x - 3 \) при \( -x + 4 = x - 3 \implies 2x = 7 \implies x = 3.5 \). Это одно решение.

У нас есть два случая с единственным решением:

1. \( k = -4/3 \)
2. \( k = 1 \)
3. \( k = -1 \)

Нам нужно наименьшее положительное значение \( k \). Это \( k = 1 \).

Ответ: \( k = 1 \)