3. Решить уравнение √2ax - 1 = x - 1.

Решение:

Уравнение: \( \sqrt{2ax - 1} = x - 1 \)

Для начала наложим ограничения:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 2ax - 1 \ge 0 \)
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна квадратному корню: \( x - 1 \ge 0 \), то есть \( x \ge 1 \).

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{2ax - 1})^2 = (x - 1)^2 \]\[ 2ax - 1 = x^2 - 2x + 1 \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ x^2 - 2x + 1 - 2ax + 1 = 0 \]\[ x^2 - (2 + 2a)x + 2 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( x \). Дискриминант:

\[ D = (-(2 + 2a))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 \]\[ D = (2(1 + a))^2 - 8 \]\[ D = 4(1 + a)^2 - 8 \]\[ D = 4(1 + 2a + a^2) - 8 \]\[ D = 4 + 8a + 4a^2 - 8 \]\[ D = 4a^2 + 8a - 4 \]

Корни квадратного уравнения:

\[ x = \frac{2 + 2a \pm \sqrt{4a^2 + 8a - 4}}{2} \]\[ x =   \frac{2(1 + a) \pm 2\sqrt{a^2 + 2a - 1}}{2} \]\[ x = 1 + a \pm \sqrt{a^2 + 2a - 1} \]

Теперь нам нужно учесть ограничения: \( x \ge 1 \) и \( 2ax - 1 \ge 0 \).

Рассмотрим два случая для корней:

Случай 1: \( x = 1 + a + \sqrt{a^2 + 2a - 1} \)

Нам нужно, чтобы \( 1 + a + \sqrt{a^2 + 2a - 1} \ge 1 \), что означает \( a + \sqrt{a^2 + 2a - 1} \ge 0 \).

Также нужно, чтобы \( 2ax - 1 \ge 0 \). Подставим \( x \):

\[ 2a(1 + a + \sqrt{a^2 + 2a - 1}) - 1 \ge 0 \]\[ 2a + 2a^2 + 2a\sqrt{a^2 + 2a - 1} - 1 \ge 0 \]

Случай 2: \( x = 1 + a - \sqrt{a^2 + 2a - 1} \)

Нам нужно, чтобы \( 1 + a - \sqrt{a^2 + 2a - 1} \ge 1 \), что означает \( a - \sqrt{a^2 + 2a - 1} \ge 0 \), то есть \( a \ge \sqrt{a^2 + 2a - 1} \).

Это возможно только если \( a \ge 0 \). Тогда возведём в квадрат: \( a^2 \ge a^2 + 2a - 1 \), что даёт \( 0 \ge 2a - 1 \), или \( 2a \le 1 \), то есть \( a \le 0.5 \). Таким образом, для этого случая \( 0 \le a \le 0.5 \).

Также нужно, чтобы \( 2ax - 1 \ge 0 \). Подставим \( x \):

\[ 2a(1 + a - \sqrt{a^2 + 2a - 1}) - 1 \ge 0 \]

Этот анализ показывает, что решение зависит от параметра \( a \) и требует более детального рассмотрения случаев.

Ответ: Для полной записи решения необходимо учесть ограничения \( x ≥ 1 \) и \( 2ax - 1 ≥ 0 \) для каждого из корней \( x = 1 + a \pm \sqrt{a^2 + 2a - 1} \). В общем случае решение сводится к подстановке найденных \( x \) в исходное уравнение и проверке ограничений.