1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: 1) \(\frac{5+x}{3+x}\); 2) \(\frac{4}{|x|-1}\); 3) \(\frac{4}{x-1}+\frac{7x}{x-4}\); 4) \(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\)?

Дробь имеет смысл, если все её знаменатели не равны нулю.

1. \(3+x\ne0\), поэтому \(x\ne-3\).
2. \(|x|-1\ne0\), откуда \(|x|\ne1\), поэтому \(x\ne-1\) и \(x\ne1\).
3. \(x-1\ne0\) и \(x-4\ne0\), поэтому \(x\ne1,4\).
4. Сначала требуется \(x\ne0\). Кроме того, \(1+\frac1x\ne0\): \(\frac{x+1}{x}\ne0\), поэтому \(x\ne-1\).

Ответ: 1) \(x\ne-3\); 2) \(x\ne-1,1\); 3) \(x\ne1,4\); 4) \(x\ne-1,0\).