1. Прямая касается окружности с центром О в точке А. На касательной по разные стороны от точки А отметили точки В и С такие, что ОВ = ОС. Докажите, что BA = AC.

Решение:

1. Дано: Окружность с центром О. Прямая касается окружности в точке А. Точки B и C на касательной, симметрично относительно А. OB = OC.
2. Доказать: BA = AC.
3. Доказательство:
   1. Рассмотрим треугольники OBA и OCA.
   2. OA — общая сторона.
   3. Угол OAB = Угол OAC = 90° (так как касательная перпендикулярна радиусу в точке касания).
   4. OB = OC (дано).
   5. По теореме Пифагора: $$BA^2 = OB^2 - OA^2$$ и $$AC^2 = OC^2 - OA^2$$.
   6. Так как OB = OC, то $$OB^2 = OC^2$$, следовательно, $$BA^2 = AC^2$$, и $$BA = AC$$.

Ответ: Доказано.