5. К окружности провели касательные АВ и АС (рис. 60). Касательная к окружности в точке Е пересекает прямые АВ и АС в точках D и F соответственно. Найдите отрезок АВ, если периметр треугольника ADF равен 16 см.

Решение:

1. Дано: Окружность. Касательные AB и AC к окружности. Точки B и C — точки касания. Касательная DE intersects AB at D. Касательная FE intersects AC at F. E is the point of tangency for the line segment DF.
2. Найти: AB.
3. Дано: Периметр треугольника ADF = 16 см.
4. Решение:
   1. AB и AC — касательные к окружности, проведенные из точки A. Следовательно, AB = AC.
   2. DB — касательная к окружности.
   3. DE — касательная к окружности.
   4. D — точка на AB. E — точка касания.
   5. DF — касательная к окружности.
   6. D — точка на AB. F — точка на AC. E — точка касания.
   7. DE и DB — касательные из точки D.
   8. FE и FC — касательные из точки F.
   9. BD = DE (касательные из D).
   10. CF = FE (касательные из F).
   11. Периметр треугольника ADF = AD + DF + AF.
   12. DF = DE + FE.
   13. Периметр ADF = AD + DE + FE + AF = 16 см.
   14. Так как AB = AC, и D лежит на AB, F лежит на AC.
   15. Let AB = AC = x.
   16. AD is a segment of AB. AF is a segment of AC.
   17. BD = AB - AD = x - AD.
   18. CF = AC - AF = x - AF.
   19. So, DE = x - AD.
   20. FE = x - AF.
   21. Perimeter = AD + (x - AD) + (x - AF) + AF = AD + x - AD + x - AF + AF = 2x.
   22. So, 2x = 16 см.
   23. x = 16 / 2 = 8 см.
   24. AB = x = 8 см.

Ответ: 8 см