2. Из точки А, лежащей вне окружности с центром О, проведены к ней касательные АВ и АС (В и С — точки касания). Докажите, что АО — биссектриса угла ВАС.

Решение:

1. Дано: Окружность с центром О. Касательные AB и AC к окружности из точки А. B и C — точки касания.
2. Доказать: AO — биссектриса угла BAC.
3. Доказательство:
   1. Рассмотрим треугольники OBA и OCA.
   2. OB = OC (радиусы окружности).
   3. OA — общая сторона.
   4. Угол OBA = Угол OCA = 90° (так как касательная перпендикулярна радиусу в точке касания).
   5. Треугольники OBA и OCA — прямоугольные.
   6. По теореме Пифагора: $$AB^2 = OA^2 - OB^2$$ и $$AC^2 = OA^2 - OC^2$$.
   7. Так как OB = OC, то $$OB^2 = OC^2$$, следовательно, $$AB^2 = AC^2$$, и $$AB = AC$$.
   8. Треугольники OBA и OCA равны по трем сторонам (или по гипотенузе и катету).
   9. Следовательно, угол BAO = Угол CAO.
   10. Таким образом, AO является биссектрисой угла BAC.

Ответ: Доказано.