1. Прямые a и b пересекаются в точке M. Прямая a пересекает параллельные плоскости α и β в точках A₁ и A₂ соответственно. Прямая b пересекает параллельные плоскости α и β в точках B₁ и B₂ соответственно. A₁A₂ = 3 см, MA₁ = 6 см, A₁B₁ = 4 см. а) Доказать, что A₁B₁ ∥ A₂B₂. б) Найти A₂B₂.

а) Прямые a и b лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и β по прямым A₁B₁ и A₂B₂. Линии пересечения двух параллельных плоскостей с третьей плоскостью параллельны, поэтому A₁B₁ ∥ A₂B₂.

б) По рисунку точки A₁ и A₂ лежат на одном луче из M, поэтому MA₂ = MA₁ + A₁A₂ = 6 + 3 = 9 см.

Треугольники MA₁B₁ и MA₂B₂ подобны: их стороны лежат на тех же двух пересекающихся прямых, а A₁B₁ ∥ A₂B₂. Коэффициент подобия равен MA₂ / MA₁ = 9 / 6 = 1,5.

Следовательно, A₂B₂ = 1,5 · 4 = 6 см.

Ответ: а) A₁B₁ ∥ A₂B₂; б) A₂B₂ = 6 см.