3. AA₁ — перпендикуляр к плоскости α, AB и AC — наклонные. AB = 4 см, AC = 8 см, BA₁ : CA₁ = 1 : 7. Найдите AA₁.

Обозначим BA₁ = x. По отношению BA₁ : CA₁ = 1 : 7 получаем CA₁ = 7x. Поскольку AA₁ ⟂ α, треугольники ABA₁ и ACA₁ прямоугольные при A₁.

По теореме Пифагора:

\(AA_1^2 + x^2 = 4^2\),

\(AA_1^2 + (7x)^2 = 8^2\).

Вычтем первое равенство из второго: \(48x^2 = 48\), откуда \(x^2 = 1\) и \(x = 1\) см.

Тогда из первого равенства \(AA_1^2 = 16 - 1 = 15\), поэтому \(AA_1 = \sqrt{15}\) см.

Ответ: \(\sqrt{15}\) см.