1. Прямые m и n не лежат в одной плоскости. Прямые a и b пересекаются с каждой из прямых m и n. Доказать, что прямые a и b не пересекаются.

Предположим противоположное: прямые a и b пересекаются в точке P.

Тогда прямые a и b определяют некоторую плоскость α. Прямая m пересекает обе эти прямые, поэтому две точки её пересечения с прямыми a и b лежат в плоскости α. Следовательно, вся прямая m лежит в плоскости α.

Аналогично, прямая n также лежит в плоскости α. Это противоречит условию, что прямые m и n не лежат в одной плоскости.

Следовательно, наше предположение неверно.

Ответ: прямые a и b не пересекаются.