2. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Точка M — середина отрезка B₁C₁. Точка N — середина отрезка D₁C₁, K — середина DC. Пересекаются ли плоскости MNK и A₁B₁C₁? Ответ объяснить.

Введём координаты куба: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0). Тогда:

• M — середина B₁C₁, поэтому M(1; 0,5; 1);
• N — середина D₁C₁, поэтому N(0,5; 1; 1);
• K — середина DC, поэтому K(0,5; 1; 0).

Точки M и N лежат в верхней грани куба, то есть в плоскости A₁B₁C₁. Поэтому прямая MN лежит в этой плоскости.

Плоскость MNK содержит точки M и N, а значит, содержит прямую MN. Следовательно, плоскости имеют общую прямую MN.

Ответ: да, плоскости пересекаются по прямой MN.