2. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Пересекаются ли плоскости AB₁D₁ и A₁C₁C? Ответ объяснить.

Рассмотрим координаты куба: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), а верхние вершины имеют координату z = 1.

Плоскость AB₁D₁ пересекает верхнюю грань по отрезку, соединяющему точку A₁C₁, являющуюся серединой диагонали A₁C₁.

Плоскость A₁C₁C содержит прямую A₁C₁. Поэтому общая точка этих плоскостей — середина диагонали A₁C₁, а общая прямая проходит через вершину A и эту середину.

Ответ: да, плоскости пересекаются по прямой, проходящей через A и середину отрезка A₁C₁.