Ответ:

  1. Ненастный день принёс неожиданный сюрприз. Слова без НЕ не употребляются или имеют близкое к ним значение.
  2. Это была не правда, а вымысел. Есть противопоставление с союзом «а».
  3. Нескошенная трава пахла летом. Полное причастие без зависимых слов пишется с НЕ слитно.
  4. Не кто иной, как наш старший брат, решил задачу. В сочетании с усилительной конструкцией «не кто иной, как» НЕ пишется раздельно.
  5. Не глубокая, но быстрая река шумела. Есть противопоставление с союзом «но».

Ответ: ненастный, неожиданный; не правда, а вымысел; нескошенная; не кто иной, как; не глубокая, но быстрая.