1. Расстояние между двумя пунктами катер прошел по течению реки за 7 часов, а против течения - за 8 часов. Найдите расстояние между этими пунктами, если скорость течения реки 2,5 км/ч.

Решение:

Пусть \( S \) — расстояние между пунктами (в км), \( v_{катера} \) — собственная скорость катера (в км/ч), \( v_{течения} \) — скорость течения реки (в км/ч).

Скорость катера по течению: \( v_{катера} + v_{течения} \) = \( v_{катера} + 2.5 \) км/ч.

Скорость катера против течения: \( v_{катера} - v_{течения} \) = \( v_{катера} - 2.5 \) км/ч.

Время движения по течению: \( t_{по} = 7 \) часов.

Время движения против течения: \( t_{против} = 8 \) часов.

Расстояние по течению: \( S = (v_{катера} + 2.5) \times 7 \)

Расстояние против течения: \( S = (v_{катера} - 2.5) \times 8 \)

Так как расстояние одинаковое:

\[ (v_{катера} + 2.5) \times 7 = (v_{катера} - 2.5) \times 8 \]

Решим уравнение:

\[ 7v_{катера} + 17.5 = 8v_{катера} - 20 \]

\[ 8v_{катера} - 7v_{катера} = 17.5 + 20 \]

\[ v_{катера} = 37.5 \]

Собственная скорость катера — 37.5 км/ч.

Теперь найдём расстояние:

\[ S = (37.5 + 2.5) \times 7 = 40 \times 7 = 280 \] км.

Проверка:

\[ S = (37.5 - 2.5) \times 8 = 35 \times 8 = 280 \] км.

Ответ: 280 км.