2. В правильной треугольной пирамиде ABCD (с вершиной D) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью KLM, где K, L, M — середины рёбер AB, BC и CD соответственно.

Обозначим высоту пирамиды через h. Центр равностороннего основания находится на расстоянии 2/√3 от каждой вершины, поэтому h² = 4² − (2/√3)² = 44/3.

Сечение — четырёхугольник KLMN, где N — середина AD. Действительно, на каждой грани плоскость соединяет середины двух рёбер; на грани ACD это отрезок MN, а на грани ABD — NK.

Разобьём сечение диагональю KM на два треугольника. Для каждого из них площадь равна ⅛√(4h² + 3). Подставляя h² = 44/3, получаем площадь всего сечения: S = ¼√(185/3) = √555/12.

Ответ: √555/12.