3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ боковое ребро равно 4, а сторона основания равна 6. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, B и середину ребра B₁C₁.

Обозначим середину B₁C₁ через E, а середину A₁C₁ через F. Плоскость сечения пересекает грани призмы по отрезкам AB, BE, EF и FA, поэтому сечение — параллелограмм ABEF. Отрезок EF параллелен AB и равен половине стороны основания: EF = 3.

Вектор AF имеет горизонтальную составляющую длины 3√3/2 (высота равностороннего треугольника, умноженная на 1/2) и вертикальную составляющую 4. Поэтому высота параллелограмма к основанию AB равна √((3√3/2)² + 4²) = √43/2.

Тогда S = AB · √43/2 = 6 · √43/2 = 3√43.

Ответ: 3√43.