4. В правильной четырёхугольной пирамиде ABCDE (с вершиной E) все рёбра равны 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ABK, где K — середина ребра CE.

Расположим квадрат ABCD в плоскости z = 0: A(0, 0, 0), B(4, 0, 0), C(4, 4, 0), D(0, 4, 0). Вершина E находится над центром квадрата; поскольку боковое ребро равно 4, высота пирамиды равна 2√2. Значит, E(2, 2, 2√2), а K — середина CE, то есть K(3, 3, √2).

Плоскость ABK пересекает ребро DE в его середине N. Сечение — четырёхугольник ABKN. Его площадь можно найти как сумму площадей треугольников ABK и AKN: S = 4√19/2 + 4√3/2 = 2√19 + 2√3.

Ответ: 2√19 + 2√3.