1. Решите системы уравнений, методом подстановки: a) {m + 2n = 2, m = 3n - 3; б) {x - 2y = 3, 5x + y = 4; в) {4m + 7n = 5, 3m + 5n = 3.

Решение:

Метод подстановки заключается в том, чтобы выразить одну переменную через другую из одного уравнения и подставить это выражение в другое уравнение.

а)

1. Выразим \(m\) из второго уравнения: \( m = 3n - 3 \).
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \( (3n - 3) + 2n = 2 \).
3. Решим полученное уравнение относительно \(n\): \( 5n - 3 = 2 \) \( \Rightarrow \) \( 5n = 5 \) \( \Rightarrow \) \( n = 1 \).
4. Найдем \(m\), подставив \(n = 1\) в выражение для \(m\): \( m = 3(1) - 3 = 3 - 3 = 0 \).

б)

1. Выразим \(y\) из второго уравнения: \( y = 4 - 5x \).
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \( x - 2(4 - 5x) = 3 \).
3. Решим полученное уравнение относительно \(x\): \( x - 8 + 10x = 3 \) \( \Rightarrow \) \( 11x = 11 \) \( \Rightarrow \) \( x = 1 \).
4. Найдем \(y\), подставив \(x = 1\) в выражение для \(y\): \( y = 4 - 5(1) = 4 - 5 = -1 \).

в)

1. Из первого уравнения выразим \(m\): \( 4m = 5 - 7n \) \( \Rightarrow \) \( m = \frac{5 - 7n}{4} \).
2. Подставим это выражение во второе уравнение: \( 3\left(\frac{5 - 7n}{4}\right) + 5n = 3 \).
3. Решим полученное уравнение относительно \(n\): \( \frac{15 - 21n}{4} + 5n = 3 \) \( \Rightarrow \) \( 15 - 21n + 20n = 12 \) \( \Rightarrow \) \( -n = -3 \) \( \Rightarrow \) \( n = 3 \).
4. Найдем \(m\), подставив \(n = 3\) в выражение для \(m\): \( m = \frac{5 - 7(3)}{4} = \frac{5 - 21}{4} = \frac{-16}{4} = -4 \).

Ответ: а) m = 0, n = 1; б) x = 1, y = -1; в) m = -4, n = 3.