1. Решите уравнение: 1) sin 4x = -√2/2; 2) cos(x/2 - π/8) = 0; 3) cos 3x + cos 5x = 0.

1. Решение уравнений:

• 1) sin 4x = -√2/2
  • Общее решение:
  • \[ 4x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
  • \[ 4x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
  • Выразим x:
  • \[ x = \frac{5\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \]
  • \[ x = \frac{7\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \]
• 2) cos(x/2 - π/8) = 0
  • Общее решение:
  • \[ \frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
  • Выразим x:
  • \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} + \pi n \]
  • \[ \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{8} + \pi n \]
  • \[ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
• 3) cos 3x + cos 5x = 0
  • Используем формулу суммы косинусов: cos α + cos β = 2 cos((α+β)/2) cos((α-β)/2)
  • \[ 2 \cos\left(\frac{3x + 5x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x - 5x}{2}\right) = 0 \]
  • \[ 2 \cos(4x) \cos(-x) = 0 \]
  • \[ 2 \cos(4x) \cos(x) = 0 \]
  • Следовательно,
  • \[ \cos(4x) = 0 \quad \text{или} \quad \cos(x) = 0 \]
  • Решаем каждое уравнение:
  • \[ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \]
  • \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]