4. Решите уравнение sin 2x + √3 cos 2x = 2 cos 6x.

4. Решение уравнения:

• sin 2x + √3 cos 2x = 2 cos 6x
  • Левую часть уравнения приведем к виду R sin(2x + α) или R cos(2x - α).
  • Разделим обе части на \(\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\).
  • \[ \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x = \cos 6x \]
  • Заменим \(\frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}\) и \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \frac{\pi}{3}\).
  • \[ \cos \frac{\pi}{3} \sin 2x + \sin \frac{\pi}{3} \cos 2x = \cos 6x \]
  • Используем формулу синуса суммы: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.
  • \[ \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos 6x \]
  • Заменим \(\cos 6x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 6x\right)\).
  • \[ \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 6x\right) \]
  • Приравняем аргументы синуса:
  • Случай 1:
  • \[ 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - 6x + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
  • \[ 8x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n \]
  • \[ 8x = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2\pi n \]
  • \[ 8x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \]
  • \[ x = \frac{\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} \]
  • Случай 2:
  • \[ 2x + \frac{\pi}{3} = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - 6x\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
  • \[ 2x + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{2} + 6x + 2\pi k \]
  • \[ 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 6x + 2\pi k \]
  • \[ -4x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k \]
  • \[ -4x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \]
  • \[ x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \]