3. Решите уравнение: 1) 3 cos²x + 7 sin x - 5 = 0; 2) 2 sin²x + 1,5 sin 2x - 3cos²x = 1; 3) sin 8x + sin 10x + cos x = 0.

3. Решение уравнений:

• 1) 3 cos²x + 7 sin x - 5 = 0
  • Используем основное тригонометрическое тождество: cos²x = 1 - sin²x
  • \[ 3(1 - \sin^2 x) + 7 \sin x - 5 = 0 \]
  • \[ 3 - 3\sin^2 x + 7 \sin x - 5 = 0 \]
  • \[ -3\sin^2 x + 7 \sin x - 2 = 0 \]
  • \[ 3\sin^2 x - 7 \sin x + 2 = 0 \]
  • Пусть y = sin x. Тогда:
  • \[ 3y^2 - 7y + 2 = 0 \]
  • Решаем квадратное уравнение:
  • \[ y = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{7 \pm 5}{6} \]
  • \[ y_1 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2 \]
  • \[ y_2 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
  • Так как y = sin x, и sin x находится в диапазоне [-1, 1], то y = 2 не подходит.
  • \[ \sin x = \frac{1}{3} \]
  • Общее решение:
  • \[ x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
  • \[ x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
• 2) 2 sin²x + 1,5 sin 2x - 3cos²x = 1
  • Используем формулы: sin²x = (1 - cos 2x)/2, cos²x = (1 + cos 2x)/2, sin 2x = 2 sin x cos x
  • \[ 2 \frac{1 - \cos 2x}{2} + 1,5 (2 \sin x \cos x) - 3 \frac{1 + \cos 2x}{2} = 1 \]
  • \[ 1 - \cos 2x + 3 \sin x \cos x - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos 2x = 1 \]
  • \[ 1 - \cos 2x + \frac{3}{2} \sin 2x - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos 2x = 1 \]
  • \[ \frac{3}{2} \sin 2x - \frac{5}{2} \cos 2x - \frac{1}{2} = 1 \]
  • \[ \frac{3}{2} \sin 2x - \frac{5}{2} \cos 2x = \frac{3}{2} \]
  • Умножим на 2:
  • \[ 3 \sin 2x - 5 \cos 2x = 3 \]
  • Разделим на \(\sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}\)
  • \[ \frac{3}{\sqrt{34}} \sin 2x - \frac{5}{\sqrt{34}} \cos 2x = \frac{3}{\sqrt{34}} \]
  • Пусть cos α = 3/√34, sin α = 5/√34. Тогда:
  • \[ \cos \alpha \sin 2x - \sin \alpha \cos 2x = \frac{3}{\sqrt{34}} \]
  • \[ \sin(2x - \alpha) = \frac{3}{\sqrt{34}} \]
  • \[ 2x - \alpha = \arcsin\left(\frac{3}{\sqrt{34}}\right) + 2\pi n \quad \text{или} \quad 2x - \alpha = \pi - \arcsin\left(\frac{3}{\sqrt{34}}\right) + 2\pi k \]
  • \[ 2x = \alpha + \arcsin\left(\frac{3}{\sqrt{34}}\right) + 2\pi n \quad \text{или} \quad 2x = \alpha + \pi - \arcsin\left(\frac{3}{\sqrt{34}}\right) + 2\pi k \]
  • \[ x = \frac{\alpha}{2} + \frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{3}{\sqrt{34}}\right) + \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{3}{\sqrt{34}}\right) + \pi k \]
  • где \(\alpha = \arctan(5/3)\)
• 3) sin 8x + sin 10x + cos x = 0
  • Используем формулу суммы синусов: sin α + sin β = 2 sin((α+β)/2) cos((α-β)/2)
  • \[ 2 \sin\left(\frac{8x + 10x}{2}\right) \cos\left(\frac{8x - 10x}{2}\right) + \cos x = 0 \]
  • \[ 2 \sin(9x) \cos(-x) + \cos x = 0 \]
  • \[ 2 \sin(9x) \cos x + \cos x = 0 \]
  • \[ \cos x (2 \sin(9x) + 1) = 0 \]
  • Следовательно:
  • \[ \cos x = 0 \quad \text{или} \quad 2 \sin(9x) + 1 = 0 \]
  • Решаем каждое уравнение:
  • \[ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
  • \[ 2 \sin(9x) = -1 \implies \sin(9x) = -\frac{1}{2} \]
  • \[ 9x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \implies x = -\frac{\pi}{54} + \frac{2\pi k}{9} \]
  • \[ 9x = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \implies 9x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m \implies x = \frac{7\pi}{54} + \frac{2\pi m}{9} \]