1. Решите уравнение: б) \(\lg^2 x + 4 \lg \frac{x}{10} = 1;\)

Решение:

Перепишем уравнение, используя свойства логарифмов: \(\lg^2 x + 4(\lg x - \lg 10) = 1\).

Так как \(\lg 10 = 1\), получаем: \(\lg^2 x + 4(\lg x - 1) = 1\).

Раскроем скобки: \(\lg^2 x + 4 \lg x - 4 = 1\).

Перенесём всё в одну сторону: \(\lg^2 x + 4 \lg x - 5 = 0\).

Сделаем замену переменной: пусть \(y = \lg x\). Тогда уравнение примет вид: \(y^2 + 4y - 5 = 0\).

Решим квадратное уравнение:

1. Найдём дискриминант: \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\).
2. Найдём корни: \(y_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1\), \(y_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = -5\).

Теперь вернёмся к замене \(y = \lg x\):

1. \(\lg x = 1\) \( \Rightarrow \) \(x = 10^1 = 10\).
2. \(\lg x = -5\) \( \Rightarrow \) \(x = 10^{-5} = 0.00001\).

Оба корня положительны, поэтому подходят по ОДЗ логарифма.

Ответ: \(x = 10\), \(x = 10^{-5}\).