2. Решите неравенство: в) \(\frac{3^{x+1} + 2}{3^x - 3} \ge 2\log_3 \sqrt{3}.\)

Решение:

Упростим правую часть неравенства: \(2\log_3 \sqrt{3} = 2\log_3 3^{1/2} = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_3 3 = 1 \cdot 1 = 1\).

Неравенство принимает вид: \(\frac{3^{x+1} + 2}{3^x - 3} \ge 1\).

Перенесём 1 в левую часть: \(\frac{3^{x+1} + 2}{3^x - 3} - 1 \ge 0\).

Приведём к общему знаменателю:

\(\frac{3^{x+1} + 2 - (3^x - 3)}{3^x - 3} \ge 0\)

\(\frac{3 \cdot 3^x + 2 - 3^x + 3}{3^x - 3} \ge 0\)

\(\frac{2 \cdot 3^x + 5}{3^x - 3} \ge 0\).

Сделаем замену \(t = 3^x\). Так как \(3^x > 0\) для любого \(x\), то \(t > 0\).

Неравенство примет вид: \(\frac{2t + 5}{t - 3} \ge 0\).

Решим дробно-рациональное неравенство методом интервалов.

Найдём корни числителя и знаменателя:

\(2t + 5 = 0 \Rightarrow t = -5/2\)

\(t - 3 = 0 \Rightarrow t = 3\)

Числовая ось для \(t\):

---|----(-5/2)----|----(0)----|----(3)----|---

Тестируем интервалы:

• \(t < -5/2\) (например, \(t = -3\)): \(\frac{2(-3) + 5}{-3 - 3} = \frac{-1}{-6} = 1/6 > 0\).
• \(-5/2 < t < 0\) (например, \(t = -1\)): \(\frac{2(-1) + 5}{-1 - 3} = \frac{3}{-4} < 0\).
• \(0 < t < 3\) (например, \(t = 1\)): \(\frac{2(1) + 5}{1 - 3} = \frac{7}{-2} < 0\).
• \(t > 3\) (например, \(t = 4\)): \(\frac{2(4) + 5}{4 - 3} = \frac{13}{1} > 0\).

Учитывая, что \(t > 0\) и \(\frac{2t + 5}{t - 3} \ge 0\), получаем \(t > 3\).

Вернёмся к замене \(t = 3^x\):

\(3^x > 3\)

\(3^x > 3^1\)

Так как основание степени \(3 > 1\), показатель степени \(x\) должен быть больше 1.

\(x > 1\).

Ответ: \((1; +\infty)\).