№ 1. Решите уравнение \(\frac{x}{x+3} + \frac{x-6}{x-3} = 1\)

Решение:

1. Приведём уравнение к общему знаменателю \( (x+3)(x-3) \):
   \( \frac{x(x-3) + (x-6)(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 1 \)
2. Раскроем скобки в числителе:
   \( x^2 - 3x + x^2 + 3x - 6x - 18 = 1 \)
3. Упростим уравнение:
   \( 2x^2 - 6x - 18 = (x+3)(x-3) \)
   \( 2x^2 - 6x - 18 = x^2 - 9 \)
4. Перенесём все члены в левую часть:
   \( 2x^2 - x^2 - 6x - 18 + 9 = 0 \)
   \( x^2 - 6x - 9 = 0 \)
5. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
   \( D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-9) = 36 + 36 = 72 \)
6. Найдём корни:
   \( x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{72}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 \cdot 2}}{2} = \frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3\sqrt{2} \)

Ответ: \( 3 \pm 3\sqrt{2} \).