№ 7. Решить систему уравнений \(\begin{cases} x^2-3y=13 \\ x-y=3 \end{cases}\)

Решение:

Решим систему методом подстановки.

1. Выразим \( x \) из второго уравнения:
   \( x = y + 3 \)
2. Подставим это выражение в первое уравнение:
   \( (y+3)^2 - 3y = 13 \)
3. Раскроем скобки и приведём уравнение к квадратному виду:
   \( y^2 + 6y + 9 - 3y = 13 \)
   \( y^2 + 3y + 9 - 13 = 0 \)
   \( y^2 + 3y - 4 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:
   \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \)
5. Найдём значения \( y \):
   \( y_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-3 \pm 5}{2} \)
   \( y_1 = \frac{-3+5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
   \( y_2 = \frac{-3-5}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
6. Найдем соответствующие значения \( x \), используя \( x = y + 3 \):
   Если \( y_1 = 1 \), то \( x_1 = 1 + 3 = 4 \).
   Если \( y_2 = -4 \), то \( x_2 = -4 + 3 = -1 \).
7. Получили два решения: \( (4; 1) \) и \( (-1; -4) \).

Ответ: \( (4; 1), (-1; -4) \).