1. Simplify the following expressions: a) $$1\frac{1}{3} + \frac{1}{3} - 2\frac{2}{3}$$ б) $$2\frac{1}{6} + 3\frac{2}{3} + 4\frac{5}{6}$$

Решение:

1. а)
   

   Сначала приведем смешанные числа к неправильным дробям:

   
   

   \[ 1\frac{1}{3} = \frac{1 \times 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} \]

   
   

   \[ 2\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} \]

   
   

   Теперь выполним вычитание и сложение:

   
   

   \[ \frac{4}{3} + \frac{1}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4 + 1 - 8}{3} = \frac{5 - 8}{3} = \frac{-3}{3} = -1 \]

2. б)
   

   Сначала приведем смешанные числа к неправильным дробям:

   
   

   \[ 2\frac{1}{6} = \frac{2 \times 6 + 1}{6} = \frac{13}{6} \]

   
   

   \[ 3\frac{2}{3} = \frac{3 \times 3 + 2}{3} = \frac{11}{3} \]

   
   

   \[ 4\frac{5}{6} = \frac{4 \times 6 + 5}{6} = \frac{29}{6} \]

   
   

   Приведем дроби к общему знаменателю (6):

   
   

   \[ \frac{11}{3} = \frac{11 \times 2}{3 \times 2} = \frac{22}{6} \]

   
   

   Теперь выполним сложение:

   
   

   \[ \frac{13}{6} + \frac{22}{6} + \frac{29}{6} = \frac{13 + 22 + 29}{6} = \frac{35 + 29}{6} = \frac{64}{6} \]

   
   

   Сократим дробь:

   
   

   \[ \frac{64}{6} = \frac{32}{3} \]

   
   

   Или представим в виде смешанного числа:

   
   

   \[ \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \]

Ответ: а) -1; б) $$10\frac{2}{3}$$