1. Соотношение между сторонами и углами в треугольнике. 2. Построение прямой, проходящей через данную точку и параллельную данной прямой. 3. Луч SR является биссектрисой угла S, а отрезки SM и SN равны. Докажите равенство треугольников SMO и SNO.

1. Соотношение между сторонами и углами в треугольнике:

• Против большей стороны треугольника лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.
• Против равных сторон треугольника лежат равные углы, и наоборот, против равных углов лежат равные стороны.

2. Построение прямой, проходящей через данную точку и параллельную данной прямой:

Пусть дана прямая a и точка P, не лежащая на прямой a.

1. Провести произвольную прямую b, проходящую через точку P и пересекающую прямую a. Точка пересечения — A.
2. На прямой b от точки P отложить угол, равный одному из углов, образованных при пересечении прямых a и b (например, накрест лежащему или соответственному углу).
3. Прямая, проходящая через точку P и образующая с прямой b равный угол с прямым углом a, будет параллельна прямой a.

3. Доказательство равенства треугольников SMO и SNO:

Дано: Луч SR — биссектриса \(\angle S\); SM = SN.

Доказать: \(\triangle SMO = \triangle SNO\)

Доказательство:

По условию, SR — биссектриса \(\angle S\), значит, \(\angle MSR = \angle NSR\). Угол \(\angle S\) в данном случае — это \(\angle MSN\). Следовательно, \(\angle MSO = \angle NSO\).

По условию, SM = SN.

Отрезок SO является общей стороной для \(\triangle SMO\) и \(\triangle SNO\).

По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), \(\triangle SMO = \triangle SNO\) (по признаку СУС: сторона SM = сторона SN, угол \(\angle MSO\) = угол \(\angle NSO\), сторона SO — общая).