1. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если эти цифры поменять местами, то получится число, большее данного числа на 54. Найдите данное число.

Решение:

Пусть искомое двузначное число состоит из цифр \( x \) (десятки) и \( y \) (единицы). Тогда число можно записать как \( 10x + y \).

1. По условию, сумма цифр равна 12: \( x + y = 12 \).
2. Если поменять цифры местами, получится число \( 10y + x \). Это число больше исходного на 54: \( (10y + x) - (10x + y) = 54 \).
3. Упростим второе уравнение: \( 10y + x - 10x - y = 54 \) \( 9y - 9x = 54 \) \( y - x = 6 \).
4. Теперь у нас есть система из двух уравнений:

5. Сложим оба уравнения, чтобы найти \( y \): \( (x + y) + (y - x) = 12 + 6 \) \( 2y = 18 \) \( y = 9 \).
6. Подставим \( y = 9 \) в первое уравнение: \( x + 9 = 12 \) \( x = 3 \).
7. Таким образом, исходное число — это \( 10x + y = 10 \cdot 3 + 9 = 39 \).
8. Проверим: сумма цифр \( 3 + 9 = 12 \). Число с переставленными цифрами — 93. \( 93 - 39 = 54 \). Условие выполняется.

Ответ: 39.