3. Моторная лодка и парусник, находясь на озере на расстоянии 40 км друг от друга, двигаются навстречу друг другу и встречаются через два часа. Если бы моторная лодка находилась в 30 км от парусника и догоняла его, то на это потребовалось 3 часа. Сколько километров в час делают лодка и парусник?

Решение:

Обозначим скорость моторной лодки как \( v_л \) (км/ч), а скорость парусника как \( v_п \) (км/ч).

Случай 1: Движение навстречу

1. Расстояние между лодкой и парусником — 40 км.
2. Они встречаются через 2 часа.
3. Скорость сближения равна сумме их скоростей: \( v_сбл = v_л + v_п \).
4. Расстояние равно скорости сближения, умноженной на время: \( 40 = (v_л + v_п) \cdot 2 \).
5. Отсюда находим сумму скоростей: \( v_л + v_п = \frac{40}{2} = 20 \) км/ч.

Случай 2: Движение вдогонку

6. Расстояние между лодкой и парусником — 30 км.
7. Моторная лодка догоняет парусник за 3 часа.
8. Скорость сближения (догона) равна разности их скоростей: \( v_дог = v_л - v_п \) (предполагаем, что \( v_л > v_п \)).
9. Расстояние равно скорости догона, умноженной на время: \( 30 = (v_л - v_п) \cdot 3 \).
10. Отсюда находим разность скоростей: \( v_л - v_п = \frac{30}{3} = 10 \) км/ч.

Система уравнений

11. Теперь у нас есть система из двух уравнений:

12. Сложим оба уравнения, чтобы найти \( v_л \): \( (v_л + v_п) + (v_л - v_п) = 20 + 10 \) \( 2v_л = 30 \) \( v_л = 15 \) км/ч.
13. Подставим \( v_л = 15 \) во второе уравнение: \( 15 - v_п = 10 \) \( v_п = 15 - 10 \) \( v_п = 5 \) км/ч.

Ответ: Моторная лодка делает 15 км/ч, парусник — 5 км/ч.