1. Существует ли прямоугольник, длины сторон которого выражаются натуральным числом, а периметр — простым числом (длины сторон прямоугольника и периметр выражены в одних и тех же единицах измерения)?

Пусть стороны прямоугольника равны натуральным числам a и b. Тогда его периметр равен P = 2(a + b). Он делится на 2 и больше 2, поэтому не может быть простым числом.

Ответ: нет, такого прямоугольника не существует.