2. При каких натуральных значениях <em>n</em> будет простым числом значение выражения: а) 2<em>n</em>; б) 11<em>n</em>; в) <em>n</em>²; г) <em>n</em>(<em>n</em> + 1); д) 100<em>n</em> + 1; е) 12<em>n</em> − 10?

а) Если n > 1, число 2n составное. При n = 1 получаем 2 — простое число.

б) Если n > 1, число 11n составное. При n = 1 получаем 11 — простое число.

в) При любом натуральном n число n² либо равно 1, либо имеет делители 1, n и n², поэтому простым не является.

г) Числа n и n + 1 — соседние натуральные числа. Если их произведение больше 2, оно составное; при n = 1 произведение равно 2.

д) При n = 1 получаем 101 — простое число. Для произвольного натурального n ответ зависит от того, простое ли само число 100n + 1; например, при n = 2 оно равно 201 = 3 · 67, а при n = 3 равно 301 = 7 · 43. Единого значения n из условия, кроме проверки простоты 100n + 1, указать нельзя.

е) 12n − 10 = 2(6n − 5). Чтобы произведение было простым, второй множитель должен равняться 1. Отсюда 6n − 5 = 1, поэтому n = 1; значение выражения равно 2.

Ответ: а) n = 1; б) n = 1; в) ни при каких; г) только n = 1; д) те n, для которых 100n + 1 простое (например, n = 1); е) n = 1.