1. Теплоход, двигаясь по Ладожскому озеру, прошёл на восток 30 км, затем свернул под углом 45° на северо-восток и прошёл ещё 20 км; последние 20 км он двигался строго на север. Найдите путь, пройденный теплоходом, и модуль перемещения.

Путь — сумма длин всех участков: \(30+20+20=70\) км.

Для перемещения зададим восток как положительное направление оси \(x\), север — оси \(y\). Участки перемещения: \((30;0)\), \((20\cos45^\circ;20\sin45^\circ)=(10\sqrt2;10\sqrt2)\) и \((0;20)\) км.

Итоговые проекции: \(x=30+10\sqrt2\), \(y=20+10\sqrt2\). Поэтому модуль перемещения равен \(\sqrt{(30+10\sqrt2)^2+(20+10\sqrt2)^2}=10\sqrt{13+10\sqrt2}\approx 48.2\) км.

Ответ: путь — 70 км; модуль перемещения — примерно 48,2 км.